Medium

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 coins，表示可用的硬币的面值，以及一个整数 target 。

如果存在某个 coins 的子序列总和为 x ，那么整数 x 就是可获得的 。

返回需要添加到数组中的任意面值硬币的最小数量 ，使得范围 [1, target] 内的每个整数都是可获得的 。

数组的 子序列 是通过删除原数组的一些（可能不删除）元素而形成的新的非空数组，且不改变其余元素的相对位置。

示例 1：

输入：coins = [1,4,10], target = 19
输出：2
解释：需要添加面值为 2 和 8 的硬币，结果数组为 [1,2,4,8,10] 。
可以证明从结果数组中可以获得 1 到 19 的所有整数，且需要添加到数组中的硬币数目最小为 2 。

示例 2：

输入：coins = [1,4,10,5,7,19], target = 19
输出：1
解释：只需要添加一个面值为 2 的硬币，结果数组为 [1,2,4,5,7,10,19] 。
可以证明从结果数组中可以获得 1 到 19 的所有整数，且需要添加到数组中的硬币数目最小为 1 。

示例 3：

输入：coins = [1,1,1], target = 20
输出：3
解释：需要添加面值为 4、8 和 16 的硬币，结果数组为 [1,1,1,4,8,16] 。
可以证明从结果数组中可以获得 1 到 20 的所有整数，且需要添加到数组中的硬币数目最小为 3 。

提示：

  • 1 <= target <= 10^5
  • 1 <= coins.length <= 10^5
  • 1 <= coins[i] <= target

解题思路

这是一个经典的贪心问题。核心思想是维护当前能够表示的连续整数范围，然后逐步扩展。

解题思路：

  1. 排序硬币数组：首先对硬币数组进行排序，这样能够按面值从小到大处理。

  2. 维护可表示范围：用变量 maxReachable 表示当前能够表示的最大连续整数，即我们能表示 [1, maxReachable] 范围内的所有整数。

  3. 贪心策略：

    • 初始时 maxReachable = 0，表示我们还不能表示任何正整数
    • 遍历排序后的硬币数组，对于每个硬币 coin：
      • 如果 coin <= maxReachable + 1，说明这个硬币可以扩展我们的表示范围，更新 maxReachable += coin
      • 如果 coin > maxReachable + 1，说明存在间隙，我们需要添加面值为 maxReachable + 1 的硬币来填补间隙

  4. 填补间隙：当发现间隙时，添加面值为 maxReachable + 1 的硬币是最优选择，因为它能最大化地扩展我们的表示范围到 [1, 2 * maxReachable + 1]。

  5. 循环直到达到目标：重复上述过程直到 maxReachable >= target。

这个算法的关键在于理解：如果我们能表示 [1, x] 范围内的所有数，那么添加一个面值为 y 的硬币（其中 y <= x + 1）后，我们就能表示 [1, x + y] 范围内的所有数。

代码实现

class Solution {
public:
    int minimumAddedCoins(vector<int>& coins, int target) {
        sort(coins.begin(), coins.end());
        
        int maxReachable = 0;
        int added = 0;
        int i = 0;
        
        while (maxReachable < target) {
            if (i < coins.size() && coins[i] <= maxReachable + 1) {
                maxReachable += coins[i];
                i++;
            } else {
                maxReachable += maxReachable + 1;
                added++;
            }
        }
        
        return added;
    }
};

class Solution:
    def minimumAddedCoins(self, coins: List[int], target: int) -> int:
        coins.sort()
        
        max_reachable = 0
        added = 0
        i = 0
        
        while max_reachable < target:
            if i < len(coins) and coins[i] <= max_reachable + 1:
                max_reachable += coins[i]
                i += 1
            else:
                max_reachable += max_reachable + 1
                added += 1
        
        return added

public class Solution {
    public int MinimumAddedCoins(int[] coins, int target) {
        Array.Sort(coins);
        
        int maxReachable = 0;
        int added = 0;
        int i = 0;
        
        while (maxReachable < target) {
            if (i < coins.Length && coins[i] <= maxReachable + 1) {
                maxReachable += coins[i];
                i++;
            } else {
                maxReachable += maxReachable + 1;
                added++;
            }
        }
        
        return added;
    }
}

/**
 * @param {number[]} coins
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
var minimumAddedCoins = function(coins, target) {
    coins.sort((a, b) => a - b);
    
    let maxReachable = 0;
    let added = 0;
    let i = 0;
    
    while (maxReachable < target) {
        if (i < coins.length && coins[i] <= maxReachable + 1) {
            maxReachable += coins[i];
            i++;
        } else {
            maxReachable += maxReachable + 1;
            added++;
        }
    }
    
    return added;
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型值
时间复杂度O(n log n)
空间复杂度O(1)

时间复杂度分析： 主要的时间开销来自排序操作，需要 O(n log n) 时间。之后的遍历过程每个硬币最多被访问一次，所以遍历部分是 O(n) 时间。

空间复杂度分析： 只使用了常数个额外变量，空间复杂度为 O(1)。

相关题目