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题目描述

给你一个下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 maxHeights 。

你的任务是在坐标轴上建 n 座塔。第 i 座塔的下标为 i ，高度为 heights[i] 。

如果以下条件满足，我们称这些塔的配置是 美丽的 ：

  1. 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
  2. heights 是一个 山脉 数组

如果存在下标 i 使得以下条件满足，那么数组 heights 是一个 山脉 数组：

  • 对于所有 0 < j <= i ，都有 heights[j - 1] <= heights[j]
  • 对于所有 i <= k < n - 1 ，都有 heights[k + 1] <= heights[k]

请你返回满足 美丽配置 的塔的高度 最大可能的总和 。

示例 1：

输入：maxHeights = [5,3,4,1,1]
输出：13
解释：一个美丽的配置是 heights = [5,3,3,1,1]，总和为 13 。这个配置美丽是因为：
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]  
- heights 是山脉数组，峰值在 i = 0 处。
可以证明不存在和大于 13 的美丽配置。

示例 2：

输入：maxHeights = [6,5,3,9,2,7]
输出：22
解释：一个美丽的配置是 heights = [3,3,3,9,2,2]，总和为 22 。这个配置美丽是因为：
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
- heights 是山脉数组，峰值在 i = 3 处。
可以证明不存在和大于 22 的美丽配置。

示例 3：

输入：maxHeights = [3,2,5,5,2,3]
输出：18
解释：一个美丽的配置是 heights = [2,2,5,5,2,2]，总和为 18 。这个配置美丽是因为：
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
- heights 是山脉数组，峰值在 i = 2 处。
注意，对于这个配置，i = 3 也可以是一个峰值。
可以证明不存在和大于 18 的美丽配置。

提示：

  • 1 <= n == maxHeights.length <= 10^5
  • 1 <= maxHeights[i] <= 10^9

解题思路

这道题要求我们找到一个山脉数组的配置，使得塔的高度总和最大。关键思路是枚举每个位置作为山脉的峰值。

解题思路

对于每个可能的峰值位置 i，我们需要计算：

  1. 左半部分：从位置 0 到 i 的最大高度和（非递减序列）
  2. 右半部分：从位置 i 到 n-1 的最大高度和（非递增序列）

核心观察

为了构造山脉数组：

  • 左半部分必须是非递减的，每个位置的高度不能超过 maxHeights[i]
  • 右半部分必须是非递增的，每个位置的高度不能超过 maxHeights[i]

动态规划 + 单调栈优化

使用两次遍历：

  1. 从左到右：计算 left[i] 表示以 i 为峰值时，左半部分（0到i）的最大高度和
  2. 从右到左：计算 right[i] 表示以 i 为峰值时，右半部分（i到n-1）的最大高度和

关键优化是使用单调栈找到每个位置左边/右边第一个更小的元素，这样可以快速计算区间内的高度和。

对于位置 i：

  • left[i] = maxHeights[i] * (i - j) + left[j]，其中 j 是 i 左边最近的且 maxHeights[j] < maxHeights[i] 的位置
  • right[i] = maxHeights[i] * (j - i) + right[j]，其中 j 是 i 右边最近的且 maxHeights[j] < maxHeights[i] 的位置

最终答案是 max(left[i] + right[i] - maxHeights[i]) 对所有 i 的最大值。

代码实现

class Solution {
public:
    long long maximumSumOfHeights(vector<int>& maxHeights) {
        int n = maxHeights.size();
        vector<long long> left(n), right(n);
        stack<int> st;
        
        // 计算left数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!st.empty() && maxHeights[st.top()] > maxHeights[i]) {
                st.pop();
            }
            if (st.empty()) {
                left[i] = (long long)maxHeights[i] * (i + 1);
            } else {
                int j = st.top();
                left[i] = left[j] + (long long)maxHeights[i] * (i - j);
            }
            st.push(i);
        }
        
        // 清空栈
        while (!st.empty()) st.pop();
        
        // 计算right数组
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            while (!st.empty() && maxHeights[st.top()] > maxHeights[i]) {
                st.pop();
            }
            if (st.empty()) {
                right[i] = (long long)maxHeights[i] * (n - i);
            } else {
                int j = st.top();
                right[i] = right[j] + (long long)maxHeights[i] * (j - i);
            }
            st.push(i);
        }
        
        long long result = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            result = max(result, left[i] + right[i] - maxHeights[i]);
        }
        
        return result;
    }
};

class Solution:
    def maximumSumOfHeights(self, maxHeights: List[int]) -> int:
        n = len(maxHeights)
        left = [0] * n
        right = [0] * n
        stack = []
        
        # 计算left数组
        for i in range(n):
            while stack and maxHeights[stack[-1]] > maxHeights[i]:
                stack.pop()
            if not stack:
                left[i] = maxHeights[i] * (i + 1)
            else:
                j = stack[-1]
                left[i] = left[j] + maxHeights[i] * (i - j)
            stack.append(i)
        
        # 清空栈
        stack.clear()
        
        # 计算right数组
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            while stack and maxHeights[stack[-1]] > maxHeights[i]:
                stack.pop()
            if not stack:
                right[i] = maxHeights[i] * (n - i)
            else:
                j = stack[-1]
                right[i] = right[j] + maxHeights[i] * (j - i)
            stack.append(i)
        
        result = 0
        for i in range(n):
            result = max(result, left[i] + right[i] - maxHeights[i])
        
        return result

public class Solution {
    public long MaximumSumOfHeights(IList<int> maxHeights) {
        int n = maxHeights.Count;
        long[] left = new long[n];
        long[] right = new long[n];
        Stack<int> stack = new Stack<int>();
        
        // 计算left数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (stack.Count > 0 && maxHeights[stack.Peek()] > maxHeights[i]) {
                stack.Pop();
            }
            if (stack.Count == 0) {
                left[i] = (long)maxHeights[i] * (i + 1);
            } else {
                int j = stack.Peek();
                left[i] = left[j] + (long)maxHeights[i] * (i - j);
            }
            stack.Push(i);
        }
        
        // 清空栈
        stack.Clear();
        
        // 计算right数组
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            while (stack.Count > 0 && maxHeights[stack.Peek()] > maxHeights[i]) {
                stack.Pop();
            }
            if (stack.Count == 0) {
                right[i] = (long)maxHeights[i] * (n - i);
            } else {
                int j = stack.Peek();
                right[i] = right[j] + (long)maxHeights[i] * (j - i);
            }
            stack.Push(i);
        }
        
        long result = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            result = Math.Max(result, left[i] + right[i] - maxHeights[i]);
        }
        
        return result;
    }
}

var maximumSumOfHeights = function(maxHeights) {
    const n = maxHeights.length;
    const leftSum = new Array(n).fill(0);
    const rightSum = new Array(n).fill(0);
    const leftStack = [];
    const rightStack = [];
    
    // Calculate left sums using monotonic stack
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        while (leftStack.length > 0 && maxHeights[leftStack[leftStack.length - 1]] >= maxHeights[i]) {
            leftStack.pop();
        }
        
        if (leftStack.length === 0) {
            leftSum[i] = (i + 1) * maxHeights[i];
        } else {
            const prevIndex = leftStack[leftStack.length - 1];
            leftSum[i] = leftSum[prevIndex] + (i - prevIndex) * maxHeights[i];
        }
        
        leftStack.push(i);
    }
    
    // Calculate right sums using monotonic stack
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        while (rightStack.length > 0 && maxHeights[rightStack[rightStack.length - 1]] >= maxHeights[i]) {
            rightStack.pop();
        }
        
        if (rightStack.length === 0) {
            rightSum[i] = (n - i) * maxHeights[i];
        } else {
            const nextIndex = rightStack[rightStack.length - 1];
            rightSum[i] = rightSum[nextIndex] + (nextIndex - i) * maxHeights[i];
        }
        
        rightStack.push(i);
    }
    
    let maxSum = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const totalSum = leftSum[i] + rightSum[i] - maxHeights[i];
        maxSum = Math.max(maxSum, totalSum);
    }
    
    return maxSum;
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型值说明
时间复杂度O(n)两次遍历数组，单调栈保证每个元素最多入栈出栈一次
空间复杂度O(n)需要 left、right 数组和单调栈空间

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