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题目描述

如果一个正方形矩阵满足下述全部条件，则称之为一个 X 矩阵：

  1. 矩阵对角线上的所有元素都非零
  2. 矩阵中所有其他元素都为 0

给你一个大小为 n x n 的二维整数数组 grid，表示一个正方形矩阵。如果 grid 是一个 X 矩阵，返回 true；否则，返回 false。

示例 1：

输入：grid = [[2,0,0,1],[0,3,1,0],[0,5,2,0],[4,0,0,2]]
输出：true
解释：矩阵中的绿色元素（对角线）应该是非零的，红色元素应该是 0。
因此，grid 是一个 X 矩阵。

示例 2：

输入：grid = [[5,7,0],[0,3,1],[0,5,0]]
输出：false
解释：矩阵中的绿色元素（对角线）应该是非零的，红色元素应该是 0。
因此，grid 不是一个 X 矩阵。

提示：

  • n == grid.length == grid[i].length
  • 3 <= n <= 100
  • 0 <= grid[i][j] <= 10^5

解题思路

这道题的关键是理解什么是 X 矩阵：主对角线和副对角线上的元素必须非零，其他位置的元素必须为零。

解题思路：

  1. 识别对角线位置：对于 n×n 矩阵中的位置 (i,j)，如果满足以下条件之一，则该位置在对角线上：

    • i == j（主对角线）
    • i + j == n - 1（副对角线）

  2. 遍历验证：遍历矩阵的每个位置，检查：

    • 如果位置在对角线上，元素必须非零
    • 如果位置不在对角线上，元素必须为零

  3. 优化考虑：也可以分别遍历对角线元素和非对角线元素，但直接遍历整个矩阵更简洁。

时间复杂度：O(n²)，需要遍历整个矩阵 空间复杂度：O(1)，只使用常量额外空间

这是一道典型的矩阵遍历题，重点在于正确识别对角线位置的判断条件。

代码实现

class Solution {
public:
    bool checkXMatrix(vector<vector<int>>& grid) {
        int n = grid.size();
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                // 检查是否在对角线上
                bool onDiagonal = (i == j) || (i + j == n - 1);
                
                if (onDiagonal) {
                    // 对角线上的元素必须非零
                    if (grid[i][j] == 0) {
                        return false;
                    }
                } else {
                    // 非对角线上的元素必须为零
                    if (grid[i][j] != 0) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        
        return true;
    }
};

class Solution:
    def checkXMatrix(self, grid: List[List[int]]) -> bool:
        n = len(grid)
        
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                # 检查是否在对角线上
                on_diagonal = (i == j) or (i + j == n - 1)
                
                if on_diagonal:
                    # 对角线上的元素必须非零
                    if grid[i][j] == 0:
                        return False
                else:
                    # 非对角线上的元素必须为零
                    if grid[i][j] != 0:
                        return False
        
        return True

public class Solution {
    public bool CheckXMatrix(int[][] grid) {
        int n = grid.Length;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                // 检查是否在对角线上
                bool onDiagonal = (i == j) || (i + j == n - 1);
                
                if (onDiagonal) {
                    // 对角线上的元素必须非零
                    if (grid[i][j] == 0) {
                        return false;
                    }
                } else {
                    // 非对角线上的元素必须为零
                    if (grid[i][j] != 0) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        
        return true;
    }
}

/**
 * @param {number[][]} grid
 * @return {boolean}
 */
var checkXMatrix = function(grid) {
    const n = grid.length;
    
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            if (i === j || i + j === n - 1) {
                if (grid[i][j] === 0) return false;
            } else {
                if (grid[i][j] !== 0) return false;
            }
        }
    }
    
    return true;
};
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复杂度分析

复杂度类型复杂度说明
时间复杂度O(n²)需要遍历整个 n×n 矩阵
空间复杂度O(1)只使用常量额外空间

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