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题目描述

给你一个浮点数 hour，表示你到达办公室可用的总通勤时间。要通勤到办公室，你必须按顺序乘坐 n 趟火车。另给你一个长度为 n 的整数数组 dist ，其中 dist[i] 表示第 i 趟火车的行驶距离（单位是千米）。

每趟火车都只能在整数小时发车，所以你可能需要在两趟火车之间等待一段时间。

  • 例如，第 1 趟火车需要 1.5 小时，那你必须再等待 0.5 小时，搭乘在第 2 小时发车的第 2 趟火车。

返回能准时到达办公室所需的火车最小正整数速度（单位：千米每小时），如果无法准时到达，则返回 -1 。

生成的测试用例保证答案不超过 10^7 ，且 hour 的小数点后最多存在两位数字。

示例 1：

输入：dist = [1,3,2], hour = 6
输出：1
解释：速度为 1 时：
- 第 1 趟火车运行需要 1/1 = 1 小时。
- 由于是在整数时间到达，可以立即换乘在第 1 小时发车的第 2 趟火车。第 2 趟火车运行需要 3/1 = 3 小时。
- 由于是在整数时间到达，可以立即换乘在第 4 小时发车的第 3 趟火车。第 3 趟火车运行需要 2/1 = 2 小时。
- 你将会恰好在第 6 小时到达。

示例 2：

输入：dist = [1,3,2], hour = 2.7
输出：3
解释：速度为 3 时：
- 第 1 趟火车运行需要 1/3 = 0.33333 小时。
- 由于不是在整数时间到达，故需要等待至第 1 小时才能搭乘第 2 趟火车。第 2 趟火车运行需要 3/3 = 1 小时。
- 由于是在整数时间到达，可以立即换乘在第 2 小时发车的第 3 趟火车。第 3 趟火车运行需要 2/3 = 0.66667 小时。
- 你将会在第 2.66667 小时到达。

示例 3：

输入：dist = [1,3,2], hour = 1.9
输出：-1
解释：不可能准时到达，因为第 3 趟火车最早是在第 2 小时发车。

提示：

  • n == dist.length
  • 1 <= n <= 10^5
  • 1 <= dist[i] <= 10^5
  • 1 <= hour <= 10^9
  • hour 中，小数点后最多只有两位数字

解题思路

这是一个经典的二分搜索问题。关键在于理解题目的约束条件和单调性。

核心思路：

  1. 时间计算规则：前 n-1 趟火车必须等到整数小时才能发车，最后一趟火车可以在任意时间到达
  2. 单调性：速度越快，总用时越少，这为二分搜索提供了理论基础
  3. 边界条件：如果总时间限制小于等于 n-1 小时，则无解（前 n-1 趟火车至少需要 n-1 个整数小时）

算法步骤：

  1. 首先判断是否有解：hour <= n-1 时返回 -1
  2. 使用二分搜索在 [1, 10^7] 范围内查找最小速度
  3. 对于给定速度，计算总用时：
    • 前 n-1 趟火车：ceil(dist[i] / speed) 小时（向上取整到整数小时）
    • 最后一趟火车：dist[n-1] / speed 小时（精确时间）
  4. 如果总用时不超过限制，说明当前速度可行，继续搜索更小的速度

时间复杂度优化：

  • 使用 (dist[i] + speed - 1) / speed 代替 ceil(dist[i] / speed) 避免浮点运算
  • 二分搜索的右边界设为 10^7（题目保证答案不超过此值）

代码实现

class Solution {
public:
    int minSpeedOnTime(vector<int>& dist, double hour) {
        int n = dist.size();
        if (hour <= n - 1) return -1;
        
        int left = 1, right = 10000000;
        int result = -1;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (canArrive(dist, hour, mid)) {
                result = mid;
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        
        return result;
    }
    
private:
    bool canArrive(vector<int>& dist, double hour, int speed) {
        double totalTime = 0;
        int n = dist.size();
        
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            totalTime += (dist[i] + speed - 1) / speed; // 等价于 ceil(dist[i] / speed)
        }
        
        totalTime += (double)dist[n - 1] / speed;
        
        return totalTime <= hour;
    }
};

class Solution:
    def minSpeedOnTime(self, dist: List[int], hour: float) -> int:
        n = len(dist)
        if hour <= n - 1:
            return -1
        
        left, right = 1, 10**7
        result = -1
        
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if self.canArrive(dist, hour, mid):
                result = mid
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        
        return result
    
    def canArrive(self, dist, hour, speed):
        total_time = 0
        n = len(dist)
        
        for i in range(n - 1):
            total_time += (dist[i] + speed - 1) // speed  # 等价于 ceil(dist[i] / speed)
        
        total_time += dist[n - 1] / speed
        
        return total_time <= hour

public class Solution {
    public int MinSpeedOnTime(int[] dist, double hour) {
        int n = dist.Length;
        if (hour <= n - 1) return -1;
        
        int left = 1, right = 10000000;
        int result = -1;
        
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (CanArrive(dist, hour, mid)) {
                result = mid;
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        
        return result;
    }
    
    private bool CanArrive(int[] dist, double hour, int speed) {
        double totalTime = 0;
        int n = dist.Length;
        
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            totalTime += (dist[i] + speed - 1) / speed; // 等价于 ceil(dist[i] / speed)
        }
        
        totalTime += (double)dist[n - 1] / speed;
        
        return totalTime <= hour;
    }
}

var minSpeedOnTime = function(dist, hour) {
    const n = dist.length;
    if (hour <= n - 1) return -1;
    
    let left = 1, right = 10000000;
    let result = -1;
    
    while (left <= right) {
        const mid = Math.floor((left + right) / 2);
        if (canArrive(dist, hour, mid)) {
            result = mid;
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    return result;
};

function canArrive(dist, hour, speed) {
    let totalTime = 0;
    const n = dist.length;
    
    for (let i = 0; i < n - 1; i++) {
        totalTime += Math.ceil(dist[i] / speed);
    }
    
    totalTime += dist[n - 1] / speed;
    
    return totalTime <= hour;
}
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型分析
时间复杂度O(n log(10^7))，其中 n 是火车数量。二分搜索需要 O(log(10^7)) 次迭代，每次迭代需要 O(n) 时间计算总用时
空间复杂度O(1)，只使用常数额外空间

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