Hard

题目描述

给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。

请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。

回文串 是正读和反读都相同的字符串。

示例 1：

输入：s = "zzazz"
输出：0
解释：字符串 "zzazz" 已经是回文串了，所以不需要做任何插入操作。

示例 2：

输入：s = "mbadm"
输出：2
解释：字符串可以变为 "mbdadbm" 或者 "mdbabdm" 。

示例 3：

输入：s = "leetcode"
输出：5
解释：插入 5 个字符后字符串变为 "leetcodocteel" 。

提示：

  • 1 <= s.length <= 500
  • s 只包含小写英文字母。

解题思路

这道题可以通过动态规划来解决，核心思路是：最少插入次数 = 字符串长度 - 最长回文子序列长度。

思路分析：

  1. 转化问题：要让字符串成为回文串，我们需要尽可能保留原有的字符。保留的字符越多，需要插入的字符就越少。
  2. 最长回文子序列：在原字符串中能找到的最长回文子序列就是我们能保留的最多字符。
  3. 计算插入次数：如果最长回文子序列长度为 lps，字符串长度为 n，那么需要插入 n - lps 个字符。

求解最长回文子序列的DP方法：

  • 定义 dp[i][j] 表示字符串 s[i...j] 中最长回文子序列的长度
  • 状态转移：
    • 如果 s[i] == s[j]，则 dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
    • 否则 dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
  • 初始化：单个字符的回文长度为 1

这种方法时间复杂度为 O(n²)，空间复杂度也为 O(n²)，是最直观和高效的解法。

代码实现

class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.length();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
        
        // 初始化：单个字符的回文长度为1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        
        // 按长度递增填表
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int i = 0; i <= n - len; i++) {
                int j = i + len - 1;
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        
        return n - dp[0][n - 1];
    }
};

class Solution:
    def minInsertions(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        dp = [[0] * n for _ in range(n)]
        
        # 初始化：单个字符的回文长度为1
        for i in range(n):
            dp[i][i] = 1
        
        # 按长度递增填表
        for length in range(2, n + 1):
            for i in range(n - length + 1):
                j = i + length - 1
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
        
        return n - dp[0][n - 1]

public class Solution {
    public int MinInsertions(string s) {
        int n = s.Length;
        int[,] dp = new int[n, n];
        
        // 初始化：单个字符的回文长度为1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i, i] = 1;
        }
        
        // 按长度递增填表
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int i = 0; i <= n - len; i++) {
                int j = i + len - 1;
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i, j] = dp[i + 1, j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i, j] = Math.Max(dp[i + 1, j], dp[i, j - 1]);
                }
            }
        }
        
        return n - dp[0, n - 1];
    }
}

/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minInsertions = function(s) {
    const n = s.length;
    const dp = Array(n).fill().map(() => Array(n).fill(0));
    
    for (let len = 2; len <= n; len++) {
        for (let i = 0; i <= n - len; i++) {
            const j = i + len - 1;
            if (s[i] === s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    
    return dp[0][n - 1];
};
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复杂度分析

复杂度类型值说明
时间复杂度O(n²)需要填充 n×n 的 DP 表格
空间复杂度O(n²)使用了 n×n 的二维 DP 数组

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