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题目描述

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。一共有偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子，数目为 piles[i]。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

Alice 和 Bob 轮流进行，Alice 先开始。每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的人获胜。

假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，当 Alice 赢得比赛时返回 true，当 Bob 赢得比赛时返回 false。

示例 1：

输入：piles = [5,3,4,5]
输出：true
解释：
Alice 先开始，只能拿前面的 5 颗或后面的 5 颗石子。
假设他取了前面的 5 颗，这样一行石子变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走了 3，那么剩下的是 [4,5]，Alice 拿走 5 赢得 10 分。
如果 Bob 拿走了后面的 5，那么剩下的是 [3,4]，Alice 拿走 4 赢得 9 分。
这表明，取前面的 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的举动，所以返回 true。

示例 2：

输入：piles = [3,7,2,3]
输出：true

提示：

  • 2 <= piles.length <= 500
  • piles.length 是偶数
  • 1 <= piles[i] <= 500
  • sum(piles[i]) 是奇数

解题思路

这道题有两种经典解法：

解法一：数学证明（推荐） 由于石子堆数是偶数，我们可以将所有堆按索引分为两组：偶数索引组和奇数索引组。Alice 作为先手，可以通过控制选择策略来确保自己总是能选到其中一组的所有石子。具体来说：

  • 如果 Alice 第一步选择第一堆（索引0），那么 Bob 只能选择索引1或最后一个索引的堆
  • 无论 Bob 怎么选，Alice 都可以继续选择偶数索引的堆
  • 类似地，如果 Alice 第一步选择最后一堆，她可以控制选择奇数索引的堆

由于总石子数是奇数，偶数组和奇数组的石子数不可能相等，Alice 可以选择石子数更多的那组，因此 Alice 必胜。

解法二：动态规划 定义 dp[i][j] 表示当剩余石子堆为 piles[i...j] 时，当前玩家与另一玩家的石子数差的最大值。状态转移方程为： dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])

虽然动态规划解法更通用，但对于这道特定题目，数学解法更优雅。

代码实现

class Solution {
public:
    bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        return true;
    }
};

class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        return True

public class Solution {
    public bool StoneGame(int[] piles) {
        return true;
    }
}

/**
 * @param {number[]} piles
 * @return {boolean}
 */
var stoneGame = function(piles) {
    return true;
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度数学解法动态规划解法
时间复杂度O(1)O(n²)
空间复杂度O(1)O(n²)

数学解法基于题目的特殊条件（偶数堆、奇数总和），直接得出 Alice 必胜的结论，是最优解法。

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