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题目描述

给你一个长度为 n 的整数数组 nums，表示由范围 [0, n - 1] 内所有整数组成的一个排列。

全局倒置 的数目等于满足下述条件不同数对 (i, j) 的数目：

  • 0 <= i < j < n
  • nums[i] > nums[j]

局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：

  • 0 <= i < n - 1
  • nums[i] > nums[i + 1]

当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true；否则，返回 false。

示例 1：

输入：nums = [1,0,2]
输出：true
解释：有 1 个全局倒置，也有 1 个局部倒置。

示例 2：

输入：nums = [1,2,0]
输出：false
解释：有 2 个全局倒置，1 个局部倒置。

提示：

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 10^5
  • 0 <= nums[i] < n
  • nums 中的所有整数 互不相同
  • nums 是范围 [0, n - 1] 内所有数字组成的一个排列

解题思路

解题思路

关键观察

首先需要理解全局倒置和局部倒置的关系：

  • 局部倒置：相邻元素的逆序对 (i, i+1)
  • 全局倒置：所有的逆序对 (i, j) 其中 i < j

重要发现：每个局部倒置都是全局倒置，因为如果 nums[i] > nums[i+1]，那么 (i, i+1) 既是局部倒置也是全局倒置。

解法分析

方法一：直接计算（会超时） 暴力计算全局倒置和局部倒置的数量进行比较，时间复杂度 O(n²)。

方法二：数学推理（推荐） 由于局部倒置 ⊆ 全局倒置，当且仅当不存在"非局部的全局倒置"时，两者数量相等。

非局部的全局倒置指：存在 i < j 且 j > i + 1，使得 nums[i] > nums[j]。

因此问题转化为：检查是否存在 i 和 j，满足 j >= i + 2 且 nums[i] > nums[j]。

方法三：位置约束分析 由于 nums 是 [0, n-1] 的排列，理想情况下每个数字 k 应该在位置 k 附近。通过数学分析可以证明：当且仅当每个位置 i 上的数字与 i 的差的绝对值不超过 1 时，全局倒置数等于局部倒置数。

即：|nums[i] - i| <= 1 对所有 i 成立。

代码实现

class Solution {
public:
    bool isIdealPermutation(vector<int>& nums) {
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (abs(nums[i] - i) > 1) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
};

class Solution:
    def isIdealPermutation(self, nums: List[int]) -> bool:
        for i in range(len(nums)):
            if abs(nums[i] - i) > 1:
                return False
        return True

public class Solution {
    public bool IsIdealPermutation(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
            if (Math.Abs(nums[i] - i) > 1) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

var isIdealPermutation = function(nums) {
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (Math.abs(nums[i] - i) > 1) {
            return false;
        }
    }
    return true;
};
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复杂度分析

复杂度类型大小
时间复杂度O(n)
空间复杂度O(1)