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题目描述

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，以及一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑成总金额，请返回 0。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1,2,5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1

提示：

  • 1 <= coins.length <= 300
  • 1 <= coins[i] <= 5000
  • coins 中的所有值互不相同
  • 0 <= amount <= 5000

解题思路

这是一个经典的完全背包问题，求组合数。我们需要计算用给定硬币能组成目标金额的方案数。

核心思路：

  1. 定义 dp[i] 表示组成金额 i 的方案数
  2. 初始状态：dp[0] = 1（组成 0 元有 1 种方案：不选任何硬币）
  3. 状态转移：对于每个硬币 coin，更新所有 >= coin 的金额

关键点：

  • 外层循环遍历硬币，内层循环遍历金额，这样确保每种硬币只考虑一次，避免重复计算
  • 如果内外层循环顺序颠倒，会计算排列数而不是组合数
  • 状态转移方程：dp[j] += dp[j - coin]

时间优化： 使用一维数组即可，因为我们只需要当前状态和之前的状态。

这种解法既简洁又高效，时间复杂度为 O(amount × coins.length)，空间复杂度为 O(amount)。

代码实现

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        
        for (int coin : coins) {
            for (int j = coin; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coin];
            }
        }
        
        return dp[amount];
    }
};

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (amount + 1)
        dp[0] = 1
        
        for coin in coins:
            for j in range(coin, amount + 1):
                dp[j] += dp[j - coin]
        
        return dp[amount]

public class Solution {
    public int Change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        
        foreach (int coin in coins) {
            for (int j = coin; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coin];
            }
        }
        
        return dp[amount];
    }
}

var change = function(amount, coins) {
    const dp = new Array(amount + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    
    for (const coin of coins) {
        for (let j = coin; j <= amount; j++) {
            dp[j] += dp[j - coin];
        }
    }
    
    return dp[amount];
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型值
时间复杂度O(amount × n)，其中 n 是硬币种类数
空间复杂度O(amount)

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