Hard
题目描述
中位数是有序整数列表中的中间值。如果列表的大小是偶数，则没有中间值，所以中位数是两个中间值的平均值。
- 例如，如果 arr = [2,3,4]，中位数是 3。
- 例如，如果 arr = [1,2,3,4]，中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5。
给你一个整数数组 nums 和一个整数 k。有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只能看到在滑动窗口内的 k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。
返回滑动窗口中位数组成的数组。与实际答案相差 10^-5 以内的答案都能被接受。
示例 1：
输入：nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], k = 3
输出：[1.00000,-1.00000,-1.00000,3.00000,5.00000,6.00000]
解释：
窗口位置 中位数
--------------- -----
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 1
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 -1
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 -1
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 3
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 5
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 6
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,4,2,3,1,4,2], k = 3
输出：[2.00000,3.00000,3.00000,3.00000,2.00000,3.00000,2.00000]
约束条件：
- 1 <= k <= nums.length <= 10^5
- -2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1
解题思路
解题思路
这道题要求在滑动窗口中快速找到中位数，有几种不同的解法：
方法一：排序法（朴素解法）
每次窗口滑动时，对窗口内的元素排序，然后找中位数。时间复杂度较高，为 O(nklog k)。
方法二：双堆法（推荐解法）
使用两个堆来维护窗口中的元素：
- 大顶堆（left）：存储较小的一半元素，堆顶是较小一半中的最大值
- 小顶堆（right）：存储较大的一半元素，堆顶是较大一半中的最小值
维护两个堆的平衡：
- 当 k 为奇数时，保证 left 堆比 right 堆多一个元素
- 当 k 为偶数时，保证两个堆元素个数相等
核心操作：
- 添加元素：根据元素大小决定加入哪个堆
- 删除元素：使用延迟删除策略，记录需要删除的元素，在访问堆顶时清理
- 平衡堆：确保两个堆的大小关系符合要求
- 获取中位数：根据 k 的奇偶性从堆顶获取
方法三：有序集合法
使用支持快速插入、删除和查找的数据结构（如平衡二叉搜索树），维护窗口内元素的有序状态。
双堆法是最优解，能够在 O(log k) 时间内处理每个窗口的中位数查询。
代码实现
class Solution {
public:
vector<double> medianSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
priority_queue<int> left; // 大顶堆，存储较小的一半
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> right; // 小顶堆，存储较大的一半
unordered_map<int, int> delayed; // 延迟删除映射
auto balance = [&]() {
// 保持左堆元素个数 >= 右堆元素个数，且最多多1个
if (left.size() > right.size() + 1) {
right.push(left.top());
left.pop();
} else if (left.size() < right.size()) {
left.push(right.top());
right.pop();
}
};
auto prune = [&](priority_queue<int>& heap) {
while (!heap.empty() && delayed.count(heap.top())) {
if (--delayed[heap.top()] == 0) {
delayed.erase(heap.top());
}
heap.pop();
}
};
auto getMedian = [&]() {
if (k & 1) {
return (double)left.top();
} else {
return ((long long)left.top() + right.top()) / 2.0;
}
};
vector<double> result;
// 初始化第一个窗口
for (int i = 0; i < k; i++) {
left.push(nums[i]);
}
for (int i = 0; i < k / 2; i++) {
right.push(left.top());
left.pop();
}
result.push_back(getMedian());
// 滑动窗口
for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
int balance_count = 0;
int remove = nums[i - k];
delayed[remove]++;
// 判断移除的元素来自哪个堆
if (remove <= left.top()) {
balance_count--;
} else {
balance_count++;
}
// 添加新元素
if (!left.empty() && nums[i] <= left.top()) {
left.push(nums[i]);
balance_count++;
} else {
right.push(nums[i]);
balance_count--;
}
// 调整平衡
if (balance_count < 0) {
left.push(right.top());
right.pop();
} else if (balance_count > 0) {
right.push(left.top());
left.pop();
}
// 清理延迟删除的元素
prune(left);
prune(right);
result.push_back(getMedian());
}
return result;
}
};
class Solution:
def medianSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[float]:
import heapq
from collections import defaultdict
left = [] # 大顶堆，存储较小的一半（使用负数模拟）
right = [] # 小顶堆，存储较大的一半
delayed = defaultdict(int) # 延迟删除映射
def balance():
# 保持左堆元素个数 >= 右堆元素个数，且最多多1个
if len(left) > len(right) + 1:
heapq.heappush(right, -heapq.heappop(left))
elif len(left) < len(right):
heapq.heappush(left, -heapq.heappop(right))
def prune(heap):
while heap and delayed[heap[0] if heap == right else -heap[0]]:
val = heapq.heappop(heap)
if heap == right:
delayed[val] -= 1
if delayed[val] == 0:
del delayed[val]
else:
delayed[-val] -= 1
if delayed[-val] == 0:
del delayed[-val]
def get_median():
if k & 1:
return float(-left[0])
else:
return (-left[0] + right[0]) / 2.0
result = []
# 初始化第一个窗口
for i in range(k):
heapq.heappush(left, -nums[i])
for _ in range(k // 2):
heapq.heappush(right, -heapq.heappop(left))
result.append(get_median())
# 滑动窗口
for i in range(k, len(nums)):
balance_count = 0
remove = nums[i - k]
delayed[remove] += 1
# 判断移除的元素来自哪个堆
if remove <= -left[0]:
balance_count -= 1
else:
balance_count += 1
# 添加新元素
if left and nums[i] <= -left[0]:
heapq.heappush(left, -nums[i])
balance_count += 1
else:
heapq.heappush(right, nums[i])
balance_count -= 1
# 调整平衡
if balance_count < 0:
heapq.heappush(left, -heapq.heappop(right))
elif balance_count > 0:
heapq.heappush(right, -heapq.heappop(left))
# 清理延迟删除的元素
prune(left)
prune(right)
result.append(get_median())
return result
public class Solution {
public double[] MedianSlidingWindow(int[] nums, int k) {
var left = new SortedDictionary<int, int>(); // 较小的一半
var right = new SortedDictionary<int, int>(); // 较大的一半
int leftSize = 0, rightSize = 0;
void AddToLeft(int val) {
left[val] = left.GetValueOrDefault(val, 0) + 1;
leftSize++;
}
void AddToRight(int val) {
right[val] = right.GetValueOrDefault(val, 0) + 1;
rightSize++;
}
void RemoveFromLeft(int val) {
if (--left[val] == 0) left.Remove(val);
leftSize--;
}
void RemoveFromRight(int val) {
if (--right[val] == 0) right.Remove(val);
rightSize--;
}
int GetLeftMax() {
return left.Keys.Last();
}
int GetRightMin() {
return right.Keys.First();
}
void Balance() {
if (leftSize > rightSize + 1) {
int val = GetLeftMax();
RemoveFromLeft(val);
AddToRight(val);
} else if (leftSize < rightSize) {
int val = GetRightMin();
RemoveFromRight(val);
AddToLeft(val);
}
}
double GetMedian() {
if (k % 2 == 1) {
return GetLeftMax();
} else {
return ((long)GetLeftMax() + GetRightMin()) / 2.0;
}
}
var result = new List<double>();
// 初始化第一个窗口
for (int i = 0; i < k; i++) {
AddToLeft(nums[i]);
}
for (int i = 0; i < k / 2; i++) {
int val = GetLeftMax();
RemoveFromLeft(val);
AddToRight(val);
}
result.Add(GetMedian());
// 滑动窗口
for (int i = k; i < nums.Length; i++) {
int remove = nums[i - k];
int add = nums[i];
// 移除元素
if (left.ContainsKey(remove)) {
RemoveFromLeft(remove);
} else {
RemoveFromRight(remove);
}
// 添加元素
if (leftSize == 0 || add <= GetLeftMax()) {
AddToLeft(add);
} else {
AddToRight(add);
}
Balance();
result.Add(GetMedian());
}
return result.ToArray();
}
}
var medianSlidingWindow = function(nums, k) {
const result = [];
for (let i = 0; i <= nums.length - k; i++) {
const window = nums.slice(i, i + k).sort((a, b) => a - b);
const mid = Math.floor(k / 2);
if (k % 2 === 1) {
result.push(window[mid]);
} else {
result.push((window[mid - 1] + window[mid]) / 2);
}
}
return result;
};
复杂度分析
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|
| 排序法 | O(n × k × log k) | O(k) |
| 双堆法（推荐） | O(n × log k) | O(k) |
| 有序集合法 | O(n × log k) | O(k) |
其中 n 是数组长度，k 是窗口大小。双堆法是最优解法。