Hard

题目描述

给定一个整数 n，返回由两个 n 位整数相乘得到的最大回文整数。由于答案可能很大，返回它对 1337 取模的结果。

示例 1：

输入：n = 2
输出：987
解释：99 x 91 = 9009，9009 % 1337 = 987

示例 2：

输入：n = 1
输出：9

约束条件：

  • 1 <= n <= 8

解题思路

这道题需要找到由两个 n 位数相乘得到的最大回文数。

核心思路：

  1. 特殊情况处理：当 n = 1 时，最大乘积是 9 × 9 = 81，但这不是回文数，所以答案是 9。

  2. 回文数构造：对于 n > 1，最大的 2n 位回文数的左半部分应该尽可能大。我们从最大可能的左半部分开始，逐步递减构造回文数。

  3. 验证策略：对于每个构造的回文数 palindrome，我们需要验证是否存在两个 n 位数的乘积等于它。可以从较大的因子开始枚举，如果 palindrome % i == 0 且 palindrome / i 也是 n 位数，则找到答案。

  4. 优化边界：设置合理的搜索范围，避免不必要的计算。

时间复杂度优化：通过数学分析可知，对于不同的 n 值，答案是固定的。可以预计算或使用查表法进一步优化。

这个问题的关键在于理解回文数的结构特点，以及如何高效地验证一个回文数是否为两个 n 位数的乘积。

代码实现

class Solution {
public:
    int largestPalindrome(int n) {
        if (n == 1) return 9;
        
        // 预计算的结果，避免超时
        vector<int> results = {9, 987, 123, 597, 677, 1218, 877, 475};
        return results[n - 1];
    }
};

class Solution:
    def largestPalindrome(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 9
        
        # 预计算的结果，避免超时
        results = [9, 987, 123, 597, 677, 1218, 877, 475]
        return results[n - 1]

public class Solution {
    public int LargestPalindrome(int n) {
        if (n == 1) return 9;
        
        // 预计算的结果，避免超时
        int[] results = {9, 987, 123, 597, 677, 1218, 877, 475};
        return results[n - 1];
    }
}

var largestPalindrome = function(n) {
    if (n === 1) return 9;
    
    const upper = Math.pow(10, n) - 1;
    const lower = Math.pow(10, n - 1);
    
    for (let half = upper; half >= lower; half--) {
        const palindrome = BigInt(half.toString() + half.toString().split('').reverse().join(''));
        
        for (let i = upper; BigInt(i) * BigInt(i) >= palindrome; i--) {
            if (palindrome % BigInt(i) === 0n) {
                const other = palindrome / BigInt(i);
                if (other >= BigInt(lower) && other <= BigInt(upper)) {
                    return Number(palindrome % 1337n);
                }
            }
        }
    }
    
    return -1;
};
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复杂度分析

复杂度类型分析
时间复杂度O(1) - 使用预计算结果直接查表
空间复杂度O(1) - 只使用常数额外空间