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题目描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币的组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

  • 1 <= coins.length <= 12
  • 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
  • 0 <= amount <= 10^4

解题思路

这是一道经典的动态规划问题，也可以用BFS求解。

动态规划思路（推荐）： 定义 dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数。状态转移方程为： dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)，其中 coin 是硬币面额且 coin <= i。

初始状态：dp[0] = 0（凑成0元需要0个硬币），其余位置初始化为一个较大值表示不可达。

BFS思路： 将问题看作图的最短路径问题。从金额0开始，每次尝试加上一个硬币面额，直到达到目标金额。BFS能保证找到的第一个解就是最优解。

贪心思路（不推荐）： 优先使用大面额硬币，但这种方法在某些情况下无法得到最优解，比如 coins = [1,3,4], amount = 6，贪心得到 4+1+1=3个硬币，但最优解是 3+3=2个硬币。

动态规划方法时间复杂度更好，代码更简洁，是首选解法。

代码实现

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
        dp[0] = 0;
        
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int coin : coins) {
                if (i >= coin) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                }
            }
        }
        
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
};

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [amount + 1] * (amount + 1)
        dp[0] = 0
        
        for i in range(1, amount + 1):
            for coin in coins:
                if i >= coin:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
        
        return dp[amount] if dp[amount] <= amount else -1

public class Solution {
    public int CoinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Array.Fill(dp, amount + 1);
        dp[0] = 0;
        
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            foreach (int coin in coins) {
                if (i >= coin) {
                    dp[i] = Math.Min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                }
            }
        }
        
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}

var coinChange = function(coins, amount) {
    const dp = new Array(amount + 1).fill(amount + 1);
    dp[0] = 0;
    
    for (let i = 1; i <= amount; i++) {
        for (let coin of coins) {
            if (i >= coin) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }
    }
    
    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型动态规划解法
时间复杂度O(amount × coins.length)
空间复杂度O(amount)

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