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题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

  • 1 <= nums.length <= 2500
  • -10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

**进阶：**你能设计时间复杂度为 O(n log(n)) 的解决方案吗？

解题思路

这道题有两种经典解法：动态规划和贪心+二分查找。

解法1：动态规划 O(n²) 定义 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度。对于每个位置 i，遍历前面所有位置 j，如果 nums[j] < nums[i]，则可以将 nums[i] 接在以 nums[j] 结尾的递增序列后面，更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。最终答案是 dp 数组中的最大值。

解法2：贪心+二分查找 O(n log n) [推荐] 维护一个数组 tails，其中 tails[i] 表示长度为 i+1 的递增子序列的最小尾部元素。遍历 nums：

  • 如果当前元素大于 tails 的最后一个元素，直接追加，长度+1
  • 否则，用二分查找找到第一个大于等于当前元素的位置并替换

这样做的关键在于：为了让后续有更多元素能够接在序列后面，我们要让每个长度的序列尾部元素尽可能小。

代码实现

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> tails;
        
        for (int num : nums) {
            if (tails.empty() || num > tails.back()) {
                tails.push_back(num);
            } else {
                int left = 0, right = tails.size() - 1;
                while (left < right) {
                    int mid = left + (right - left) / 2;
                    if (tails[mid] < num) {
                        left = mid + 1;
                    } else {
                        right = mid;
                    }
                }
                tails[left] = num;
            }
        }
        
        return tails.size();
    }
};

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        import bisect
        
        tails = []
        
        for num in nums:
            pos = bisect.bisect_left(tails, num)
            if pos == len(tails):
                tails.append(num)
            else:
                tails[pos] = num
        
        return len(tails)

public class Solution {
    public int LengthOfLIS(int[] nums) {
        List<int> tails = new List<int>();
        
        foreach (int num in nums) {
            int left = 0, right = tails.Count;
            
            while (left < right) {
                int mid = left + (right - left) / 2;
                if (tails[mid] < num) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    right = mid;
                }
            }
            
            if (left == tails.Count) {
                tails.Add(num);
            } else {
                tails[left] = num;
            }
        }
        
        return tails.Count;
    }
}

var lengthOfLIS = function(nums) {
    const tails = [];
    
    for (let num of nums) {
        let left = 0, right = tails.length;
        while (left < right) {
            let mid = Math.floor((left + right) / 2);
            if (tails[mid] < num) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        tails[left] = num;
    }
    
    return tails.length;
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

解法时间复杂度空间复杂度
动态规划O(n²)O(n)
贪心+二分查找O(n log n)O(n)

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