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题目描述

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

  • 1 <= n <= 10^4

解题思路

这道题有多种解法，我们来分析三种主要方法：

方法一：动态规划（推荐） 定义 dp[i] 表示和为 i 的完全平方数的最少数量。状态转移方程为：dp[i] = min(dp[i], dp[i - j*j] + 1)，其中 j*j <= i。我们遍历所有可能的完全平方数，找到使用最少数量的组合。

方法二：BFS 广度优先搜索 将问题转化为图论问题，从 n 开始，每次减去一个完全平方数，直到到达 0。使用 BFS 可以保证找到最短路径，即最少的步数。

方法三：数学方法（四平方和定理） 根据拉格朗日四平方和定理，任何正整数都可以表示为最多四个完全平方数的和。结合一些数学性质可以直接判断答案是 1、2、3 还是 4。

这里我们采用动态规划方法，因为它思路清晰，代码简洁，时间复杂度适中。

代码实现

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
};

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0
        
        for i in range(1, n + 1):
            j = 1
            while j * j <= i:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                j += 1
        
        return dp[n]

public class Solution {
    public int NumSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        Array.Fill(dp, int.MaxValue);
        dp[0] = 0;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.Min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
}

var numSquares = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(Infinity);
    dp[0] = 0;
    
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j * j <= i; j++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
        }
    }
    
    return dp[n];
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型动态规划解法
时间复杂度O(n√n)
空间复杂度O(n)

解释：

  • 时间复杂度：外层循环 O(n)，内层循环最多到 √i，总体为 O(n√n)
  • 空间复杂度：使用了长度为 n+1 的 dp 数组，空间复杂度为 O(n)

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