Hard

题目描述

给定一个数组 prices，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

  • 1 <= prices.length <= 10^5
  • 0 <= prices[i] <= 10^5

解题思路

这是一道经典的动态规划题目，需要跟踪在最多两次交易下的最大利润。

解法一：四状态动态规划（推荐） 我们可以用四个变量来表示在每一天结束时的四种状态：

  • buy1：完成第一次买入操作后的最大利润（此时持有股票）
  • sell1：完成第一次卖出操作后的最大利润
  • buy2：完成第二次买入操作后的最大利润（此时持有股票）
  • sell2：完成第二次卖出操作后的最大利润

状态转移方程：

  • buy1 = max(buy1, -prices[i])：要么保持之前的买入状态，要么今天买入
  • sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])：要么保持之前的卖出状态，要么今天卖出
  • buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])：基于第一次交易的利润进行第二次买入
  • sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])：完成第二次卖出

解法二：通用K次交易 可以扩展为通用的最多K次交易问题，但对于K=2的情况，四状态解法更简洁高效。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)，这是最优解法。

代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int buy1 = -prices[0], sell1 = 0;
        int buy2 = -prices[0], sell2 = 0;
        
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            buy1 = max(buy1, -prices[i]);
            sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]);
            buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i]);
            sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]);
        }
        
        return sell2;
    }
};

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        buy1 = -prices[0]
        sell1 = 0
        buy2 = -prices[0]
        sell2 = 0
        
        for i in range(1, len(prices)):
            buy1 = max(buy1, -prices[i])
            sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])
            buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])
            sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])
        
        return sell2

public class Solution {
    public int MaxProfit(int[] prices) {
        int buy1 = -prices[0], sell1 = 0;
        int buy2 = -prices[0], sell2 = 0;
        
        for (int i = 1; i < prices.Length; i++) {
            buy1 = Math.Max(buy1, -prices[i]);
            sell1 = Math.Max(sell1, buy1 + prices[i]);
            buy2 = Math.Max(buy2, sell1 - prices[i]);
            sell2 = Math.Max(sell2, buy2 + prices[i]);
        }
        
        return sell2;
    }
}

var maxProfit = function(prices) {
    let buy1 = -prices[0], sell1 = 0;
    let buy2 = -prices[0], sell2 = 0;
    
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        buy1 = Math.max(buy1, -prices[i]);
        sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i]);
        buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i]);
        sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i]);
    }
    
    return sell2;
};
在 LeetCode 上运行： 力扣中文版 LeetCode 国际版

复杂度分析

复杂度类型四状态DP解法
时间复杂度O(n)
空间复杂度O(1)

其中 n 是价格数组的长度。

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