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题目描述

给定一个三角形 triangle，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

  • 1 <= triangle.length <= 200
  • triangle[0].length == 1
  • triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
  • -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

进阶： 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

解题思路

解题思路

这是一道经典的动态规划问题。我们可以从不同角度来思考：

方法一：自顶向下动态规划 定义 dp[i][j] 表示从顶点到第 i 行第 j 列的最小路径和。状态转移方程为：

  • dp[i][j] = triangle[i][j] + min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])（需要注意边界条件）

方法二：自底向上动态规划（推荐） 从三角形底部开始，逐层向上计算最小路径和。定义 dp[i][j] 表示从第 i 行第 j 列到底部的最小路径和。状态转移方程为：

  • dp[i][j] = triangle[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])

空间优化 由于每次计算只依赖下一行的数据，我们可以使用一维数组来优化空间复杂度，从 O(n²) 降到 O(n)。

自底向上的方法更直观，不需要处理复杂的边界条件，而且便于空间优化。我们可以直接在原数组上修改，或者使用一维辅助数组。

代码实现

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> dp = triangle[n-1];
        
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j+1]);
            }
        }
        
        return dp[0];
    }
};

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = triangle[n-1][:]
        
        for i in range(n-2, -1, -1):
            for j in range(i+1):
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j+1])
        
        return dp[0]

public class Solution {
    public int MinimumTotal(IList<IList<int>> triangle) {
        int n = triangle.Count;
        int[] dp = new int[n];
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = triangle[n-1][i];
        }
        
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = triangle[i][j] + Math.Min(dp[j], dp[j+1]);
            }
        }
        
        return dp[0];
    }
}

var minimumTotal = function(triangle) {
    const n = triangle.length;
    const dp = [...triangle[n-1]];
    
    for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
        for (let j = 0; j <= i; j++) {
            dp[j] = triangle[i][j] + Math.min(dp[j], dp[j+1]);
        }
    }
    
    return dp[0];
};
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复杂度分析

复杂度类型复杂度说明
时间复杂度O(n²)需要遍历三角形中的每个元素，总共有 n²/2 个元素
空间复杂度O(n)使用一维数组存储状态，长度为三角形的行数